Окончил Миланскую консерваторию (1855, ученик Лауро Росси) c первой премией за оперу «Тиролезка» (итал. La Tirolese), которая в том же году была поставлена. Перед Зайцем открывалась итальянская карьера, но смерть родителей вынудила его вернуться в Риеку, где он занял пост концертмейстера городского театра и преподавателя струнных в городском Филармоническом институте. К этому периоду относится опера «Амелия» (1860, по драме Ф. Шиллера «Разбойники»), пользовавшаяся значительным успехом.

В 1862—1870 гг. Зайц жил и работал в Вене, где писал, в основном, оперетты. В 1870 г. Зайц вернулся в Хорватию и занял два поста: директора и главного дирижёра Загребской оперы (до 1889 г.) и директора Хорватского института музыки (до 1908 г.); деятельность Зайца на этих постах считается основой хорватского музыкального возрождения начала XX века.